米国行政管理予算局（OMB）は、連邦政府のすべての資金提供機関からの助成金の管理方法について、広範かつ抜本的な一連の規則変更を提案しました。（国立衛生研究所の元上級プログラムオフィサーによる主要な変更点の概要は、こちらでご覧いただけます。）これは単なる[...]

数ヶ月前、デイメック・デイビスと私は、普遍代数における2200万問を解く能力を凝縮された形式に「蒸留」することを目的とした、SAIR財団初の数学チャレンジを開始しました。そのチャレンジの第一段階が完了し、真偽を推測するためのいくつかの効果的な「チートシート」が生成されました[...]

ボリス・アレクセーエフ、ケビン・バレト、ヤンヤン・リー、ジャレッド・デューカー・リヒトマン、リアム・プライス、ジブラン・イクバル・シャー、クァンユー・タン、そして私は、論文「Primitive sets and von Mangoldt chains: Erdős Problem \#1196 and beyond」をarXivにアップロードしました。この論文（進行中の作業です）は、最近の活発な動きを消化し、記録するための私たちの努力を表しています。

「私は先日、arXivに私の論文「Products of consecutive integers with unusual anatomy」をアップロードしました。この論文は、ErdősとGrahamによって初めて提起された、いくつかの質問に答えています。これらの質問は、ディオファントス因子方程式の研究から生じたもので、ここで、は正の整数です。を書き、方程式を書き直すと、ここで、はの平方因数のない部分を表します[…]」

「ターニャ・クロウデンと私は、arXivにプレプリント「AI時代の数学的方法と人間の思考」をアップロードしました。これは、近刊のBlackwell Companion to the Philosophy of Mathematicsに掲載予定の依頼原稿の完全版です。私は哲学的な性質のエッセイを記事の長さで書くことはめったにありません（おそらく最後は[… ]だったと思います）」

「私は先日、arXivに私の論文「局所ベルンシュタイン理論とルジャンドル定数の下限」をアップロードしました。この論文は、最初、エルデシュによるラグランジュ補間に関する問題によって動機づけられました。しかし、その問題を解決する過程で、ベルンシュタインや彼の同時代人（ボアス、ダフィン、シェーファー、リース、[...]）による非常に古典的な議論を修正することになりました。

数学研究は伝統的に、少数の専門家の数学者が難しい問題に密接に取り組むものです。しかし、私は長い間、別の方法で数学をすることができるという信念を持っています。つまり、伝統的に取り組む問題ほど深くないかもしれない問題に、数学的な考えを持つ幅広いコミュニティと協力して取り組むという方法です。

与えられた閾値について、-smooth number (または -friable number) とは、その素因数がすべて以下の自然数のことです。 は、までの -smooth number の数を表すために使用します。 の漸近的振る舞いを研究する際、 を (または ) と書くのが一般的です。ここで、 は何らかの数です。 小さい場合、[...]

トーマス・ブルーム氏のerdosproblems.comサイトは、ポール・エルデシュ氏が提起または伝達した約1000の質問と、それらの質問の現在の状況（約3分の1は現在解決済み）をホストしています。このサイトは数年前に開設され、機能が着実に追加されており、最近追加された機能は[…]

サイモンズ・ラウファー数学科学研究所（SLMath、旧称数学科学研究所（MSRI））は、最近プログラム形式を再編成し、現在3つの新しい研究イニシアチブを発表しています。これらのイニシアチブの申請は2025年9月1日に開始されます。（開示：私はSLMathの理事会議長です。）

まず最初に述べておきたいのは、私の所属大学であるUCLAへのNSF（アメリカ国立科学財団）の資金提供が突然停止されたため、純粋応用数学研究所（IPAM）（NSFの5年間の助成金が仮承認され、研究所を運営する予定でした）は現在、資金提供停止期間中の運営継続を確実にするために、50万ドルの資金調達を行っています。

サレム賞は1968年に創設され、ラファエル・サレム（1898-1963）を記念して名付けられました。彼は、フーリエ級数と数論の関連性に関する深い研究や、これらの分野への確率的手法の先駆的な応用で知られる数学者です。2019年から2022年までは、COVIDパンデミックと[… ]の死により、授賞が見送られました。

Boris Alexeev、Evan Conway、Matthieu Rosenfeld、Andrew Sutherland、Markus Uhr、Kevin Ventullo、そして私自身は、論文「大きな因子への階乗の分解」の第二版をarXivにアップロードしました。これは、以前の同名の論文を完全に書き直し、拡張した版です。多くの追加的な理論的および数値的貢献者のおかげで……

「アーラ・ガフニさんと私は、論文「短区間における素数定理に対する例外区間の数について」をarXivにアップロードしたところです。この論文は、ゼロ密度定理と短区間における素数定理との間にある、現在文献ではやや暗黙的に示唆されているいくつかの関係を明確にしています。ゼロ密度定理は[...]」

約20年前、私は実解析の教科書『Analysis I』を書きました。那は、既にありふれた分析の教科書に焦点を当てることで、基礎的な問題、例えば自然数、整数、有理数、実数の構成、および集合論と論理論を提供することを目的としていました。

レイチェル・グリーンフェルドと私は、arXivに論文「Some variants of the periodic tiling conjecture（周期的なタイル張りの予想のいくつかの変種）」をアップロードしたばかりです。この論文では、周期的なタイル張りの現象の変種を探求します。具体的には、あるタイルがある群を並進的にタイル張りできる場合、そのタイルはその群を周期的に並進的にタイル張りできるはずだ、という現象です。例えば、[...]

最近の投稿では、見積もりを検証するための概念実証ツールについて話しました。その投稿以来、ツールを2回大幅に改良しました。まず、基本的な証明補助ツールに変えて、命題論理の一部も扱えるようにしました。次に、より柔軟な証明補助ツール（[…

解析（および組み合わせ論、理論計算機科学、PDEなどの隣接分野）における多くの問題は、1つ以上の漸近的パラメータ（例えば […]）に依存するある量の成長（または減衰）の程度に興味を持っています。例えば、その量が […] において線形、2次、多項式、指数関数的に成長または減衰するかどうか、などです。

この投稿は、Bjoern Bringmannとの討議に触発されました。記号数学ソフトウェア・パッケージは、代数、微積分、数値解析などの領域における多くの数学的任務に対して開発されています。ただし、私の知識では、漸近評価の検証──任意の大きさの値に対して成り立つとされる不等式──に対する同様に洗練されたツールが存在しないと考えられます。

「数学全体を通じて起こる基本的な問題のタイプは、リフティング問題です。ある「基礎」空間に対して「上」にある空間が射影写像によって与えられ、第三の空間から基礎空間への写像が与えられたとき、基礎空間への写像の「リフト」を探すこと、つまり、[…]という条件を満たす写像を探すことです。」

私は、同僚から複数の問い合わせを受けました。彼らは、主要な数学機関が支援し、一流大学で開催され、私自身（と他の2人のフィールズ賞受賞者）が全体講演者として名を連ねているという、奇妙な響きの会議に（非学術的なメールアドレスから）招待されたとのことです。招待された人たちは「参加費」を支払うように求められています[…]

「arXivに論文「階乗を大きな因子に分解する」をアップロードしました。この論文では、 という量を研究します。これは、階乗 を 個以上の因子 に分解できるような最大の量として定義されます。この数列の最初のいくつかの値は(OEIS A034258)に掲載されています。例えば、[...]」

幾何測度論において、目覚ましい進展がありました。Hong WangとJoshua Zahlが、悪名高いカケヤ集合予想の3次元ケースを解決したプレプリントを公開したのです！この予想は、カケヤ集合（あらゆる方向に単位線分を含む部分集合）は、ミンコフスキー次元が[… ]であると主張しています。

「私は最近、シモンズ・ファウンデーションの支援を受け、NSFからの追加的な関連支援を受けた「Wave Localization」コラボレーションの2025年年次総会から帰ってきた。そこで、私はコラボレーションのディレクターであり、主任調査員でもあるSvitlana Mayborodaから驚くべき統計を学んだ：住宅顧客による čist 電力消費[…]」

グラント・サンダーソン（Grant Sanderson、ウェブサイトおよびYouTubeチャンネル「3blue1brown」の作者）は、自分自身や他の者（共同執筆者であるターニャ・クロウデンを含む）と共同で、宇宙距離階段（cosmic distance ladder）の歴史のいくつかの部分について説明する2部構成のビデオを作成するために協力してきました。これは、以前自分が行った同テーマの一般向け講演に基づいており、また、[...] に関連しています。

ティモシー・トラッジアン、Andrew Yang、そして私たちは、先日「New exponent pairs, zero density estimates, and zero additive energy estimates: a systematic approach」（新しい指数のペア、ゼロ密度推定、ゼロ加法エネルギー推定：体系的なアプローチ）という論文をarXivにアップロードしました。この論文は、先ほどのブログ投稿で説明したプロジェクトを立ち上げたものです。このプロジェクトでは、古典的な解析的整数論におけるさまざまな指数に関する（広範囲に散在する）文献を体系的に整理し、……）

ハミルトンの四元数は、実数の拡張であり、形式の数からなる。ここで、a、b、c、dは実数であり、i、j、kは反可換な平方根であり、i^2 = j^2 = k^2 = -1、ij = -ji、jk = -kj、ki = -ikである。非可換であるが、四元数は複素数の他の多くの特性を保持している。非可換であるため、四元数は体を形成しない。

arXivに論文「GUEとその部分行列の固有値の分布について固定インデックスでの」が掲載されました。この論文は、最もよく研究されているランダム行列モデルであるガウス単位行列アンサンブル（GUE）に関するいくつかの推定値を確立しており、これはこれまでに文献に記載されていませんでしたが、将来必要になるものです。

ルネサンス・フィランソロピーとXTXマーケッツは、AI for Math Fundを立ち上げたことを発表した。この新しいグラント・プログラムは、数学にAIとマシン・ラーニングを適用するプロジェクトをサポートし、自動定理証明に焦点を当てている。初期の資金は920万ドルである。プロジェクトの資金カテゴリーと、各カテゴリーのプロジェクトの例は、[…]

「Vjeko Kovacと私は、arXivに私の論文「Ahmes級数のいくつかの無理性問題について」をアップロードしました。この論文は、Ahmes級数の無理性に関するErdösと他の人のいくつかの未解決問題を解決したり（少なくとも部分的な進歩を遂げたり）しています。Ahmes級数は、ある増加する自然数列に対して、無限級数の形をとります。

Kaisa Matomäki、Maksym Radziwill、Fernando Xuancheng Shao、Joni Teräväinen、そして私自身が、ついにarXivに私たちの論文「Higher uniformity of arithmetic functions in short intervals II. Almost all intervals」をアップロードしました。この論文は、2022年の前の論文の続編です。その論文では、以下のような相互相関推定が確立されました。

選挙の翌日、私は教えていた複雑な解析クラスにアプローチする方法に苦闘していた。部屋の中の（文字通りの）象を無視することができるのか？私の学生たちは数学を学ぶための適切な精神状態にあるのか？私は数学を教えるための適切な精神状態にあるのか？私は開き始めた[…]

長年の友人であり博識なタニア・クローデンと私は、長年共同で執筆している天文学に関する人気の書籍「宇宙距離梯子への登攀」に取り組んでいます。この本は、私が長年続けてきたこのテーマに関する公開講座を基にしていますが、当初の予定よりもはるかに[続き]

約3週間前、プロの数学者とアマチュアの数学者、自動定理証明ツール、AIツール、証明アシスタント言語Leanの努力を組み合わせる協力プロジェクトを提案しました。このプロジェクトでは、4回までのマグマ演算の呼び出しで表現できる4694の等式法則に関する帰結グラフを記述することを目的としています。つまり、[…]

Ben Krause、Hamed Mousavi、Joni Teräväinen、そして私が、arXivに論文「素数上の双線型多項式平均の点ごとの収束」をアップロードしました。この論文は、Krause、Mirek、そして私が以前の結果に基づいています。この結果では、ergodic 平均が、ほとんどのにおいて、点ごとに収束することを示しました。[…]

滑らかでコンパクトなリーマン多様体が与えられた場合、不可圧縮のオイラー方程式は、抽象的なインデックス記法で以下のように書くことができます。ここで、は時間依存的なスカラー場（圧力を表す）で、は時間依存的なベクトル場（流体速度を表す）です。この中で、はリーマン多様体に対応するレヴィ・チヴィタ接続です。から（定数倍を除いて）を回復することができるため、以下の内容を乱用します[…]。

arXivに私の論文「Planar point sets with forbidden -point patterns and few distinct distance」をアップロードしました。この（非常に）短い論文は、最近のErdös問題ウェブサイトの探検の副産物です、最近のいくつかの月で、適切な問題を見つける計画が徐々に現れています、その問題が何らかの組み合わせで解決可能かもしれないと思われます[…]。

エルドシュ問題サイトは、去年作成され、今年このブログで発表された。時々、サイトのランダムな問題を楽しみに見てみる。何回か、問題のいくつかに対して進捗を遂げることができたため、数本の論文が生み出されたが、むしろ[…]。

以下の問題はErdösとGrahamによって提出されたもので(Erdösの問題ウェブサイトの問題#437にリストされています)： 問題1 整数を仮定します。 部分積、、、、のうちどれが平方か？ ある整数に対し、平方以上のものが存在するということが真か？ もし、を表すものとして置くなら、[…]

前のブログ投稿で、ベイズの観点から、新しい情報を学ぶと、"代替仮説"が"零仮説"よりもどれだけ可能性が高いかという認識を更新することができるという話をしました。この数学的な公式は次のようです。したがって、人々が(i)零仮説と代替仮説の正確な定式化を持っており、

arXivに私の論文「自然数の濃い集合で異常に大きな最小公倍数を持つもの」をアップロードしました。この短い論文は、ErdösとGrahamが提出したある程度の奥深い質問に否定的に答えます：問題1 つまり、集合が自然数の集合で、が無限大に向かって増加するなら、[…]ということが真かどうかです。

多くの現代数学の証明は、概念的な議論と技術的な計算の組み合わせです。両者間に一定のトレードオフがあります：概念的な議論を追加して技術的な計算を減らすことができるか、逆に技術的な計算を追加して概念的な議論を減らすことができます。（これが、バークソン・パラドックスのような現象を生み出すことに繋がります。この現象では、負の相関関係が[…]）

サレム賞は1968年に設立され、数学者ラファエル・サレム（1898-1963）の栄誉を称える名前が付けられました。サレムは、Fourier級数と数論のリンクに関する深い研究で有名です。またこれらの分野に確率論的な方法を導入する先駆者でもありました。2019-2022年は、新型コロナウイルス感染症のパンデミックとサレムの死去の両方の理由で授与されませんでした。

この投稿は、がんのため最近亡くなった Luca Trevisan に捧げられています。このサイト上の私の他のブログ投稿の多くと同じように、このページも Luca の LaTeX to WordPress 変換ツールの助けで書かれました。数学的に、[…]

arXivに私の論文「On product representations of squares」をアップロードしました。この短い論文は、エルデシュの（やや曖昧な）質問に否定的に答えます。つまり、任意のに対し、の要素の異なる2つの要素が積で平方数になることを禁止するようなの最大部分集合のサイズを表します。エルデシュの論文で、[…]

この投稿の目的は、Ben Green、自分自身、Tamar Zieglerが2012年に発表した論文「Gowers -normの逆定理」に誤りがあり、訂正が必要であることを報告することです。この論文の主要な結果は、Mannersの仕事で最初に、そして異なるアプローチで強い定量的な結果で上回られましたが、（このブログの投稿で既に議論されています）。

最近のKra、Moreira、Richter、Robertsonらの論文で、Erdösが提出した質問を解決する以下の定理が確立された。離散的な可換群が与えられ、の部分集合が与えられたとき、のバナッハ密度を以下の量で定義する。Følner系列の上での上限値で、集合が与えられたとき、[…]

「この投稿には、2つの無関係なアナウンスメントが含まれています。まず、数学におけるAIの有用なリソースの一覧を宣伝したいと思います。この一覧は、タリア・リンガーが去年の国立アカデミーが開催した「数学的な推論におけるAI」ワークショップで始めました（多くの他の人々が協力してクラウドソーシングを行いました）。この一覧は今、新しい貢献、更新、または[…]を受け入れています。」

この投稿は、がんのため最近亡くなった Luca Trevisan に捧げられています。このサイト上の私の他のブログ投稿の多くと同じように、このページも Luca の LaTeX to WordPress 変換ツールの助けで書かれました。数学的に、[…]