미국 관리예산실(OMB)은 모든 연방 기금 지원 기관의 연방 보조금 관리 방식에 대한 광범위하고 급진적인 규칙 변경 제안을 발표했습니다. (국립보건원 전 수석 프로그램 책임자가 요약한 주요 변경 사항은 여기서 확인할 수 있습니다.) 이는 단순한 [...]

"몇 달 전, Damek Davis와 저는 SAIR Foundation에서 첫 번째 수학적 도전을 시작했습니다. 이 도전은 보편 대수학에서 2200만 개의 문제를 해결하는 능력을 압축된 형태로 "정제"하는 것을 목표로 했습니다. 그 도전의 1단계가 이제 완료되었으며, 참 또는 거짓을 추측하기 위한 몇 가지 효과적인 "치트 시트"가 생성되었습니다 [...]"

보리스 알렉세예프, 케빈 바레토, 양양 리, 재러드 두커 리히트만, 리암 프라이스, 지브란 이크발 샤, 콴유 탕, 그리고 저는 방금 arXiv에 저희 논문 "Primitive sets and von Mangoldt chains: Erdős Problem \#1196 and beyond"를 업로드했습니다. 이 논문(진행 중인 작업입니다)은 최근의 급증하는 […]을 소화하고 문서화하려는 저희의 노력을 나타냅니다.

나는 방금 arXiv에 내 논문 '이상한 해부학을 가진 연속된 정수의 곱'을 업로드했습니다. 이 논문은 초기에 디오판토스 인수분해 방정식의 연구에 의해 동기부여된 에르되시와 그레이엄의 일부 질문에 답합니다. 에서 를 작성하면, 이를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. 여기서 는 [...]의 제곱자유 부분을 나타냅니다.

타냐 클로덴과 저는 arXiv에 저희의 사전 인쇄본인 “AI 시대의 수학적 방법론과 인간의 사고”를 업로드했습니다. 이 논문은 곧 출간될 Blackwell Companion to the Philosophy of Mathematics에 기고 요청을 받아 작성된 논문의 완전한 버전입니다. 저는 철학적인 성격의 논문 형식의 에세이를 거의 쓰지 않습니다 (아마 마지막으로 쓴 것이 […].

나는 방금 '로컬 번스타인 이론과 레베그 상수에 대한 하계'라는 제목의 논문을 arXiv에 업로드했습니다. 이 논문은 초기에 라그랑주 보간에 대한 에르되시의 문제에 의해 동기가 부여되었지만, 그 문제를 해결하는 과정에서 나는 번스타인과 그의 동시대인들(보아스, 더핀, 샤페르, 리제, [...])의 매우 고전적인 논증을 수정하게 되었습니다.

수학 연구는 전통적으로 어려운 문제에 대해 긴밀하게 협력하는 소수의 전문 수학자들로 구성되어 있다. 그러나 나는 오랫동안 수학을 하는 또 다른 방식이 존재한다고 믿어 왔다. 즉, 전통적으로 작업하는 문제만큼 깊지 않은 문제에 대해 수학적으로 사고하는 광범위한 커뮤니티와 함께 작업하는 방식이다.

[이 포스트는 SLMath 이사회의 부의장으로서 작성되었습니다. -T.] SLMath (구 MSRI)는 차기 부국장이 될 사람을 찾고 있습니다. 이 중요한 자리는 국장의 밀접한 고문이며 SLMath의 과학 팀 및 프로그램의 내부 관리를 공유합니다. 이 자리는 [...]

간단한 공지입니다. 제가 Quanta Books와 함께 대중 수학 분야의 짧은 책 "수학 필수 6가지"를 출판하게 되었습니다. 이 책은 수학의 여섯 가지 기본 개념인 숫자, 대수, 기하, 확률, 해석, 역학을 다루며, 이들이 우리의 현실적인 직관, 수학의 역사 [...] 와 어떻게 연결되는지를 설명합니다.

(IPAM 특별 프로젝트 이사 자격으로 공유합니다.) IPAM은 2026년 3월 5일과 6일에 생성형 AI 알고리즘에 대한 산업 단기 강좌를 개최합니다. 이 단기 강좌는 딥러닝을 시작하고 싶거나, 프로젝트에 딥러닝을 적용하고 싶거나, [...] 방법을 배우고 싶은 산업계 또는 정부 관계자를 대상으로 합니다.

토마스 블룸의 에르되시 문제 사이트는 최근 몇 달 동안 활발한 활동의 중심지가 되었습니다. 특히 아직 해결되지 않은 문제들 중 비교적 쉬운 문제들이 다양한 AI 지원 접근 방식에 의해 해결될 수 있다는 것이 밝혀지면서 더욱 그렇습니다. 현재 인간의 기여, AI의 기여, 그리고 혼합된 기여가 제시되고 논의되는 활기찬 커뮤니티가 형성되어 있습니다. [...]

체론의 기본적인 문제는 정수(또는 정수의 부분 구간)에서 시작하여 다양한 법에 대한 합동류를 제거할 때 어떤 일이 발생하는지 이해하는 것입니다. 여기서는 구간이 아닌 전체 정수를 체질하고, 단지 [...]

현대 해석학의 다른 많은 분야와 마찬가지로 해석적 정수론은 종종 결과를 표현하기 위해 점근적 표기법이라는 편리한 장치에 의존합니다. 예를 들어, 또는 와 같은 표기법을 사용하여 어떤 명시되지 않은 상수 에 대해 의 형태를 나타내는 것이 일반적입니다. 이러한 암시된 상수는 줄마다 달라집니다.

"Asgar Jamneshan, Or Shalom, 그리고 저는 "다항식 타워와 유계 지수 그룹에 대한 역방향 Gowers 이론"이라는 제목의 논문을 arXiv에 업로드했습니다. 이 논문은 유한 아벨 그룹에 대한 Gowers 노름의 역 이론에 대한 에르고딕 이론적 접근 방식을 계속 탐구합니다. 이와 관련하여 저희의 주요 결과는 만족스러운 (정성적인) 역 정리를 확립합니다. [...]"

"저는 방금 arXiv에 제 사전 인쇄본 "The maximal length of the Erdős–Herzog–Piranian lemniscate in high degree"를 업로드했습니다. 이 논문은 주어진 차수 $n$의 단항 다항식에 부착된 다항식 르무니스케이트에 대한 오래된 질문, 특히 그러한 르무니스케이트의 호 길이의 상한에 대한 질문을 점근적으로 해결합니다. 예를 들어, $n=2$일 때 르무니스케이트는 [...]"

매튜 볼란, 요아킴 브라이트너, 호세 브록스, 니콜라스 칼리니, 마리오 카르네이로, 플로리스 반 도른, 마틴 드보락, 안드레스 고엔스, 아론 힐, 하랄드 후섬, 에르난 이바라 메히아, 졸탄 코치스, 브루노 르 플로흐, 아미르 리브네 바-온, 로렌조 루치올리, 더글러스 맥닐, 알렉스 마이부르크, 피에트로 몬티코네, 페이스 P. 닐슨, 엠마누엘 오살로티오만 오사주와, 지오반니 파올리니, 마르코 페트라치, 베른하르트 롄케, 데이비드 렌쇼, 마커스 […]

Erdős 문제 웹사이트의 문제 1026번이 최근 기존 문헌, 온라인 협업, AI 도구의 흥미로운 조합을 통해 해결되었습니다. 이 블로그 게시물의 목적은 이 협업의 이야기를 들려주고 완전한 증명을 제공하는 것입니다. 1975년에 제기된 Erdős의 원래 문제는 [...]

저와 Joni Teravainen은 arXiv에 제 논문 '연속 정수의 소인수에 대한 정량적 상관관계와 몇 가지 문제'를 업로드했습니다. 이 논문은 현대적인 해석적 수론 도구, 특히 Maynard 체와 Pilatte의 최근 유계 곱셈 함수에 대한 상관관계 추정치를 적용하여 일부 문제를 (부분적으로 또는 완전히) 해결합니다 [...]

Wouter van Doorn과 저는 arXiv에 제 논문 "Growth rates of sequences governed by the squarefree properties of its translates"를 업로드했습니다. 이 논문에서는 Erdős의 여러 질문에 답합니다(Erdős 문제 웹사이트의 문제 1102와 문제 1103)는 자연수 수열이 얼마나 빠르게 [...]에 해당하는지에 관한 것입니다.

지난 25년 동안, UCLA의 순수 및 응용 수학 연구소(IPAM, 현재 저는 특별 프로젝트 담당 이사입니다)는 매년 여름마다 학생들을 위한 산업 프로젝트 연구(RIPS) 프로그램을 운영해 왔습니다. 이 프로그램에서는 연구 프로젝트를 가진 산업체 후원사와 재능 있는 학부생, 그리고 박사후 연구원 멘토를 연결하여 함께 연구를 진행합니다.

5년 전, 나는 타냐 클로우덴(Tanya Klowden)과 함께 우주 거리 사다리(cosmic distance ladder)에 관한 대중 과학 책 프로젝트를 발표했으며, 책의 샘플 초안 장을 공개했습니다. 이 장은 사다리의 '네 번째 단계'를 다루고 있었는데, 이는 우리에게 행성까지의 거리를 의미했습니다. 그 이후로 여러 예상치 못한 사건들이 발생했습니다. [...]

저는 arXiv에 제 논문 "경계된 개수의 기울기에 대한 합-차 지수와 유리 복잡성"을 업로드했습니다. 이 논문은 최근에 게시했던 Bogdan Georgiev, Javier Gómez–Serrano, Adam Zsolt Wagner와의 이전 프로젝트의 두 번째 파생 연구입니다. AlphaEvolve 도구를 사용하여 실험했던 많은 문제 중 하나는 [...]였습니다.

"arXiv에 제 논문 "유한체에서의 새로운 니코딤 집합 구성"을 업로드했습니다. 이 논문은 최근에 제가 게시했던 Bogdan Georgiev, Javier Gómez–Serrano, Adam Zsolt Wagner와 함께 진행한 이전 프로젝트의 파생 결과입니다. 그 프로젝트에서 우리는 AlphaEvolve (그리고 DeepThink, AlphaProof와 같은 다른 도구들)를 사용하여 탐색하는 실험을 했습니다. [...]"

주어진 임계값 에 대해, -smooth number (또는 -friable number)는 소인수가 모두 이하인 자연수를 말합니다. 우리는 까지의 -smooth number의 개수를 로 표기합니다. 의 점근적 행동을 연구할 때, 를 (또는 로) 나타내는 것이 일반적입니다. 여기서 는 어떤 값입니다. 작은 경우 [...]

Thomas Bloom의 erdosproblems.com 사이트에는 Paul Erdős가 제기했거나 그에 의해 전달된 거의 천 개의 질문이 있으며, 이 질문들의 현재 상태(약 3분의 1이 현재 해결됨)도 함께 호스팅하고 있습니다. 이 사이트는 이제 몇 년이 되었으며 지속적으로 기능이 추가되고 있으며, 가장 최근에는 [...]

Simons-Laufer 수학 과학 연구소(SLMath, 이전 명칭 Mathematical Sciences Research Institute, MSRI)가 최근 프로그램 형식을 개편하고 세 가지 새로운 연구 이니셔티브를 발표합니다. 지원은 2025년 9월 1일에 시작됩니다. (공개: 저는 SLMath 이사회 부의장입니다.)

가장 먼저 말씀드릴 것은: UCLA 본교의 NSF 자금 지원이 갑작스럽게 중단됨에 따라, 순수 및 응용 수학 연구소(5년간의 NSF 연구소 운영 지원금이 예비 승인되었던 곳)는 현재 지원 중단 기간 동안 운영의 연속성을 보장하기 위해 50만 달러를 목표로 모금 활동을 진행하고 있습니다. [...]

살렘상은 1968년에 제정되었으며, 푸리에 급수와 수론 간의 심도 있는 연구와 확률적 방법의 선구적인 적용으로 유명한 수학자 라파엘 살렘(1898-1963)을 기리기 위해 그의 이름을 따서 명명되었습니다. 2019년부터 2022년까지는 코로나19 팬데믹과 […], 그리고 사망으로 인해 시상되지 않았습니다.

"보리스 알렉세예프, 에반 콘웨이, 마티유 로젠펠트, 앤드루 서더랜드, 마르쿠스 우르, 케빈 벤툴로, 그리고 저는 "인수분해를 큰 인수들로 분해"라는 제목의 논문을 arXiv에 업로드했습니다. 이는 이전에 같은 이름으로 발표된 논문의 완전히 다시 쓰여진 및 확장된 버전입니다. 많은 추가 이론적 및 수치 기여자들에게 감사드립니다 […]"

아일라 가프니와 저는 방금 arXiv에 "짧은 구간 내 소수 정리의 예외 구간 개수에 대하여"라는 논문을 업로드했습니다. 이 논문은 영점 밀도 정리와 짧은 구간 내 소수 정리 사이의 관계를 명확하게 보여주는데, 이는 현재 문헌에서는 다소 암묵적으로만 드러나 있습니다. 영점 밀도 정리는 [...]

거의 20년 전, 나는 'Analysis I'라는 이름의 실해석 교과서를 썼다. 그것은 자연수, 정수, 유리수, 실수의 구성과 같은 기초적인 문제에 더 집중함으로써 이미 존재하는 많은 좋은 해석 교과서를 보완하기 위한 것이었다. 또한 충분한 집합론과 논리학을 제공하는 것이 목표였다.

레이첼 그린펠드와 저는 방금 arXiv에 "주기적 타일링 추측의 몇 가지 변형"이라는 논문을 업로드했습니다. 이 논문은 주기적 타일링 현상의 변형들을 탐구합니다. 즉, 어떤 경우에는 어떤 그룹을 병진 타일링할 수 있는 타일은 그 그룹을 주기적으로도 병진 타일링할 수 있어야 한다는 것입니다. 예를 들어, […]

최근의 포스트에서, 자동 추정 확인 도구의 개념 증명을 논의했습니다. 그 포스트 이후, 두 번의 대규모 개편을 거쳤습니다. 즉, propositional logic의 일부도 처리할 수 있는 증명 보조 도구로 개발했습니다. 그리고 두 번째로는 훨씬 더 큰 증명 보조 도구(의도적으로 […]

분석 (및 조합론, 이론 컴퓨터 과학, 편미분 방정식과 같은 인접 분야)의 많은 문제들은 하나 이상의 점근적 매개변수 (예: ...)에 의존하는 어떤 양의 성장 (또는 감소) 차수에 관심을 갖습니다. 예를 들어, 해당 양이 ..., 즉 선형, 이차, 다항, 지수적으로 증가하거나 감소하는지 여부입니다.

이 게시물은 Bjoern Bringmann과의 최근 토론에서 영감을 받았습니다. 기호 수학 소프트웨어 패키지는 대수학, 미적분학 및 수치 해석과 같은 분야의 많은 수학적 작업을 위해 고도로 개발되었습니다. 그러나, 내가 아는 한, 우리는 점근 적 추정치를 검증하기위한 유사하게 정교한 도구를 가지고 있지 않습니다 - 임의로 유지되어야하는 불평등 [...]

수학 전반에 걸쳐 발생하는 기본적인 문제 유형은 리프팅 문제입니다. 즉, 어떤 공간이 다른 '기반' 공간 위에 '투영 맵'으로 인해 놓여 있고, 세 번째 공간에서 기반 공간으로의 맵이 주어질 때, 이를 '리프트'하여 위로의 맵을 찾는 것입니다. 즉, 다음과 같은 맵을 찾는 것입니다 […]

저는 동료들로부터 여러 건의 문의를 받았습니다. 그들은 주요 수학 기관들의 지원을 받는다고 하며, 유명 대학에서 개최된다고 하며, 저 자신(그리고 두 명의 다른 필즈상 수상자)이 기조 연사로 초청되었다고 하는, 이상한 이름의 컨퍼런스에 (비학술 이메일 주소로) 초청받았다고 합니다. 초청받은 사람들은 "등록비"를 지불하라는 요청을 받았습니다.

제가 arXiv에 논문 "팩토리얼을 큰 인수로 분해하기"를 방금 업로드했습니다. 이 논문에서는 팩토리얼을 인수분해할 수 있는 가장 큰 값인 를 연구합니다. 여기서 각 인수는 이상입니다. 이 수열의 처음 몇 항은 (OEIS A034258)입니다. 예를 들어, [...]

기하 측정 이론에서 놀라운 진전이 있었습니다. 홍 왕과 조슈아 자흐가 악명 높은 Kakeya 집합 추측의 3차원 경우를 해결하는 사전 인쇄본을 발표했습니다! 이 추측은 Kakeya 집합, 즉 모든 방향으로 단위 선분을 포함하는 \[어떤 공간의] 부분 집합은 민코프스키 차원 \[또는 민코프스키 차수]를 가져야 한다고 주장합니다.

최근 사이먼스 재단의 지원(NSF의 추가 지원 포함)을 받는 “파동의 국지화” 협력체의 2025년 연례 회의에 참석하고 돌아왔습니다. 그곳에서 협력체 책임자이자 주요 연구원 중 한 명인 스비틀라나 마이보로다로부터 놀라운 통계를 알게 되었습니다. 주택 고객의 순 전력 소비량은 […]

그랜트 샌더슨 (Grant Sanderson, 3blue1brown 웹사이트와 유튜브 채널을 제작)은 나와 다른 사람들 (나의 공동 저자 타냐 클로우든 포함) 과 함께 우주 거리 사다리(cosmic distance ladder)의 일부 역사에 대한 설명을 담은 2부작 비디오를 제작하는 작업에 협력하고 있습니다. 이는 이전에 내가 이 주제에 대해 한 공개 강의를 기반으로 하며, 또한 [...]에 관련되어 있습니다.

"Timothy Trudgian, Andrew Yang, 그리고 저는 방금 "New exponent pairs, zero density estimates, and zero additive energy estimates: a systematic approach"라는 논문을 arXiv에 업로드했습니다. 이 논문은 이전 블로그 게시물에서 비전을 제시한 프로젝트를 시작하는 것입니다. 여기서 (광범위하게 분산된) 고전적인 해석적 수론에서 다양한 지수의 문헌을 체계적으로 다루고 있습니다. [...] "

Hamilton의 쿼터니언 수 체계는 복소수의 비-교환적 확장으로, 실수와의 형태에서 구성되는 숫자입니다. , , . 비-교환적이므로 쿼터니언은 복소수와 같은 많은 속성을 유지합니다. 비-교환적이므로 쿼터니언은 필드를 형성하지 않습니다. […]

나는 방금 arXiv에 「GUE 및 고정 인덱스의 소수에 대한 고유값 분포」라는 논문을 업로드했습니다. 이는 가장 잘 연구된 랜덤 행렬 모델 중 하나인 가우스 유니터리 앙상블(GUE)에 대한 새로운 추정치를 설정하는 다소 기술적인 논문입니다. 이러한 추정치는 이전에는 문헌에 없었지만 […]

르네상스 필란트로피와 XTX 마케츠는 수학에 AI와 머신 러닝을 적용하는 프로젝트를 지원하는 새로운 그랜트 프로그램인 AI for Math Fund를 출시했다고 발표했습니다. 자동 정리 증명에 초점을 맞추고 있으며, 초기에는 920만 달러의 자금이 할당됩니다. 프로젝트 자금 카테고리 및 그러한 카테고리 내의 예시 프로젝트는 다음과 같습니다. […]

"Vjeko Kovac와 나는 방금 arXiv에 나의 논문 "Ahmes 시리즈의 여러 가지 비합리성 문제에 대한"을 업로드했습니다. 이 논문은 Erdös와 다른 사람들의 Ahmes 시리즈의 비합리성에 대한 열린 질문 중 일부를 해결하거나 부분적으로 진행합니다. Ahmes 시리즈는 증가하는 자연수열에 대한 다음과 같은 형식의 무한 시리즈입니다. […]"

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill, Fernando Xuancheng Shao, Joni Teräväinen, 나 자신은 (마침내) arXiv에 우리의 논문 "Higher uniformity of arithmetic functions in short intervals II. Almost all intervals"을 업로드했습니다. 이는 2022년에 발표한 이전 논문의 후속작입니다. 그 논문에서 다음과 같은 불일치 추정치가 확립되었습니다. 여기서 는 Mangoldt 함수입니다. […]

선거 다음날, 나는 내가 가르치고 있던 복잡한 분석 수업에 접근하는 방법에 대해 고민하게 되었다. 거의 문자 그대로 방 안에 있는 코끼리를 무시할 수 있을까? 내 학생들은 수학을 배우기에 적절한 정신 상태일까? 나는 수학을 가르치기에 적절한 정신 상태일까? 나는 열어보았다 […]

수년 동안 오랜 개인 친구이자 다재다능한 인물인 Tanya Klowden과 함께 천문학에 대한 대중적인 책 작업을 진행해 왔습니다. 이 책은 제목이 'Climbing the cosmic distance ladder'으로 정해질 예정이고, 이는 내가 여러 해 동안 진행해 온 대중 강연의 기반입니다. 그러나 우리는 이 주제에 대한 책을 찾는 데 어려움을 겪고 있습니다. […]

거의 세 주 전, 나는 전문 수학자와 아마추어 수학자, 자동 정리 증명 도구, AI 도구, 및 증명 보조 언어 Lean의 노력을 결합하는 협업 프로젝트를 제안했습니다. 이 프로젝트는 최대 네 번의 마그마 연산 호출을 사용하여 표현할 수 있는 마그마에 대한 4694개의 등식 법칙을 설명하는 추론 그래프를 묘사하는 것입니다. 즉, […]