ハミルトンの四元数は、実数の拡張であり、形式の数からなる。ここで、a、b、c、dは実数であり、i、j、kは反可換な平方根であり、i^2 = j^2 = k^2 = -1、ij = -ji、jk = -kj、ki = -ikである。非可換であるが、四元数は複素数の他の多くの特性を保持している。非可換であるため、四元数は体を形成しない。